賭博覇王伝零"一桁上がりの法則"について - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

１．はじめに

まずは今週の週間マガジン(2008.05.07発売)を読んでほしい。

そこで零が皆殺しの魔女の館（だったかな？ｗ）でルート２を計算することを要求され、うまい計算方法として提示したのが「一桁上がりの法則」です。

まあぶっちゃけ数学科来るくらいの人なら空で言えますけど。１．４１４２１３５６２３位までは。
それは置いといて、零が言うには

『どんな二つの数(a,b)の掛け算でも、それの一番右の桁を１上げた
数字同士の掛け算は元の結果a×bにaとbと１を足せば答えが出てくる』

数学語に代えれば

『どんな二つの数 $a,b$ に対してもそれの一番右の桁を１上げた
数字同士の掛け算の答えは $ab+a+b+1$ になる』

だけどこれは小数の場合には意味不明になり、正確には

『どんな二つの数(a,b)の掛け算でも、それの一番右の桁を１上げた
数字同士の掛け算は元の結果a×bに（aの小数点を抜いたものとbの小数点を抜いたものと１を足したもの）× $10^{X}$ ）を足せば答えが出てくる』（Xはa,b二つの小数点以下の桁数の和）

であり、文章で書けば非常に混乱する。

例）

　　１４０　　　　　１４１
　×１４０　　　　×１４１
―――――　→　―――――
１９６００　　　１９８８１

実際
１９８８１＝１９６００＋１４０＋１４０＋１

　　２．５　　　　２．６　　（小数点以下１桁
　×２．１　　　×２．２　　（小数点以下１桁
―――――　→―――――　
　５．２５　　　５．７２
実際
５．７２＝５．２５＋０．２５＋０．２１＋０．０１
　　　　＝５．２５＋（２５＋２１＋１）・１０＾（−２）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　↑
　　　　　　　　　　　　　ここの２は小数点以下桁数の合計１＋１

２． $a,b$ 整数の場合

『それの一番右の桁を１上げた』というのが一番厄介だが、整数に限定してしまえば

『どんな二つの数 $a,b$ に対しても
$(a+1)$ と $(b+1)$ の掛け算の答えは $ab+a+b+1$ になる』

しかしこれは $(a+1)(b+1)$ を計算すれば当たり前の話で、

$(a+1)(b+1)=ab+a+b+1$ 　証明終了。

３． $a,b$ 実数（有限小数）の場合

問題となるのは整数でなく小数の場合である。

しかしこの場合も条件さえ決めてあげれば以外に簡単で

$a$ :小数点以下が $k$ 桁の有限小数
$b$ :小数点以下が $m$ 桁の有限小数

と置いてあげれば

二つの数 $a,b$ に対してそれの一番右の桁を１上げた数は
$a+10^{-k}$ , $b+10^{-m}$ と表せる。

よってそれをかけたものは
$(a+10^{-k})(b+10^{-m})$
$=ab+10^{-m}a+10^{-k}b+10^{-(k+m)}$
$=ab+10^{-(k+m)} \left( 10^{k}a+10^{m}b+1 \right)$
となり、見事にもとの数 $ab$ に（ $a$ の小数点を抜いたもの＋
$b$ の小数点を抜いたもの＋１を足して小数点を付け直したもの）
の足し算になって、零の言うとおり。