アンダーバーたった一つに泣かされる夜。 - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

一つだけ光が見えた

散々悩んでた上極限と下極限の日本語での定義と、
式の同値性のことですが今日ようやく理解が深まりました。

まずは単純増加な集合列 $E_n$ に対して
$E_1 \subset E_2 \subset \cdots \subset E_n \subset \cdots$ の極限を $\lim_{n \rightarrow \infty}E_n=\bigcup_{n=1}^{\infty}E_n$ と書く。これは納得できる考え方ですね。

次に単純減少な集合列 $E_n$ に対して
$E_1 \supset E_2 \supset \cdots \supset E_n \supset \cdots$ の極限を $\lim_{n \rightarrow \infty}E_n=\bigcap_{n=1}^{\infty}E_n$ と書く。
これも納得のいく考え方ですね。そしてこのときに以下を考える。

では、
上極限の『無限に多くの $E_n$ に属する点の集まり』を考えよう。
無限に多くの $E_n$ とは、 $\forall n:\exists k|k \ge n$ なるkより先にある $E_n$ に属してる点。
それの全体と理解すれば有限のkに対して $\bigcup_{n=k}^{\infty}E_n$ の極限をとれば上極限になっていて、
単純減少集合列になるので上の極限の考え方が使えて、
$E^*=\lim_{k \rightarrow \infty}\bigcup_{n=k}^{\infty}E_n=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty}E_n$

下極限の『有限以外の全ての $E_n$ に属する点』も軽く考えて見ましょう。
有限以外のすべての $E_n$ とは $\forall n:\exists k|k \ge n$ なるkより先にある $E_n$ 全てに属してる点。
これも上極限の考えを使えば簡単に導けました！

見えた光は贋光でした

自分の理解の仕方だと上記に載せた画像のようにアンダーバーがつくわけがないのですorz
もうそろそろ悩み始めて４・５時間がたつよぅ…漏れ数学のセンスNEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEEE

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これ以上悩むか悩みましたがーーーーーーー明日はゼミなので無理しないようにします。そのゼミのテキストで悩んでるんだけどな！まさに外道！問題を放棄して寝る方向に漏れのベクトルを向けることにしました。さーて朝起きてひらめくといいな（どことなく他人任せ