集合列における上極限と下極限 - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

定義とか

(一般的な定義)集合列 ${E_n}$ に関して
上極限 $E^*=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} En$
下極限 $E_*=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} En$
と定義する。

といった感じで普通は定義してしまうみたいなんですが、自分がゼミでやった教科書は前回もちょこっと日記で触れましたが定義が『言葉』なんですよね。

(言葉による定義)
上極限とは『無限に多くの $E_n$ に含まれる点の集まり』
下極限とは『有限以外は全て $E_n$ に含まれる点の集まり』

で定義されました。この日本語を定義としたときに

(問題)
集合列 ${E_n}$ に関して　上極限 $=\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} En$ 　下極限 $=\bigcup_{k=1}^{\infty} \bigcap_{n=k}^{\infty} En$ 　であることを証明せよ。

日本語の定義から式を証明せよ…？

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その後ｗ

教授に質問しにいって理解して帰ってきたはずなのに他人に説明しようとすると出来ない罠orz

自分的な理解では ${E_n}$ の行った先を仮想的に $E_{\infty}$ とおけば上極限は $x \in E_k$ $(k=1,2,3, \cdots , \cdots)$ で下極限は $x \in E_{\infty}$ とかそんなイメージ。こんなつたない説明じゃわかんないよなぁ〜ｗ　上極限と下極限の違いとしては両方とも $E_{\infty}$ を基準に考えて、下極限はそれ自身、上極限はそれまで全部の共通部分。これでもなんかダメだなあ。それで結局教授に教えていただいた答えを振り返る。証明として理解は出来るけどいまいち納得と言うか自分の中で完全に噛み砕けない。

たぶん日本語の意味で考えると上極限 $\bigcap_{k=1}^{\infty} \bigcup_{n=k}^{\infty} En$ と $\bigcap_{k=1}^{\infty} En$ との違いが説明できない。

ネットで調べて、
1.ときわ台学・ルベーグ積分
2.Wikipedia 上極限と下極限
3.極限集合
これあたりが説明付きでわかりやすいのではないだろうか。3はまだ長かったので詳しく読んでいない。これを読めば何かつかめるかもしれない。正直、1.2.の話で定義されれば簡単に飲み込める。問題は上記のように日本語で言われたときに $\bigcap_{k=1}^{\infty} En$ との違いが説明できない点だけ。あとはそれだけだ！！