イプシロンデルタ覚え書き - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

命題
任意の正の実数 $\epsilon$ に対して次が成り立つ

$|a-b| \le \epsilon$ ならば $a=b$

$a-b \le \epsilon$ ならば $a \le b$

導入

イプシロンデルタに見慣れて適当になってくる時（（カップルで言えば倦怠期？？））に下の命題 $a-b \le \epsilon$ を見たときに $a=b$ としてしまっていた。慣れてくるとなんか成り立ちそうに見えてしまうのが不思議であるが、、、、実際は似て非なるものということがよくわかった。

絶対値があることのいみ

なぜなら上の命題（イプシロンデルタ論法）には絶対値があるゆえに、０以上でなければいけない。つまり
$0 \le |a-b| \le \epsilon$ である。 $\epsilon$ は任意の正の実数なので $|a-b|$ は０以下。もともと０以上なので $|a-b|=0$ となるわけだ。*1

絶対値がないことのいみ

こんどは　 $a-b \le \epsilon$ ならば $a \le b$ 　を見ていこう。さっきと違うのは $a-b$ が正とは限らないということだ。つまり左に０がこなくて純粋に $a-b \le \epsilon$ しか言えない。 $a-b$ がどんな正の数よりも小さいので $a-b \le 0 \le \epsilon$
つまり $a-b \le 0$ が言える。

基礎教養って大事だね

いまさらイプシロンデルタでつまるとは思わなかった…

*1:相当適当な証明でサーセンｗｗｗｗｗ