線型距離空間わかった！ - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

前の日記で

線型距離空間( linear metric space)とは、線型空間Xが距離を持ち、さらに以下の条件を満たすとき言う。
条件.
$\lambda _n \to \lambda,\mu _n \to \mu,x_n \to x , y_n \to y \Rightarrow \lambda _n x_n + \mu _n y_n \to \lambda x + \mu y$
http://d.hatena.ne.jp/ichigolgi/20070209/1170994755

という風に書きましたが、ちょっとミスってました。正確には

線型距離空間( linear metric space)とは、線型空間Xが距離 $\rho$ を持ち、さらに以下の条件を満たすとき言う。
条件.　
定められた距離 $\rho$ に対し $\begin{matrix} \lambda _n \to \lambda & , & x_n \to x \\ \mu _n \to \mu & , & y_n \to y \end{matrix} \Rightarrow \lambda _n x_n + \mu _n y_n \to \lambda x + \mu y$ つまり、
$\begin{matrix} \lambda _n \to \lambda & , & \rho \left( x_n , x \right) \to 0 \\ \mu _n \to \mu & , & \rho \left( y_n ,y \right) \to 0 \end{matrix}$ 　 $\Rightarrow$ 　 $\rho \left( \lambda _n x_n + \mu _n y_n , \lambda x + \mu y \right) \to 0$

ということでした。

この本の先を読むと、この距離ノルムに対して完備かどうかを見ていくということをしていたので左の条件が成り立つと仮定したときに右の条件がなり立つ事を示すんじゃないの？？どうしてそれを考えているの？？と謎になったのですが、実は証明は省かれていましたｗ
つまり先の話題を前の問題の証明だと思って頑張って理解しようとしていたというなんとも残念な結果でしたｗ

よーし、これなら証明は簡単じゃないかｗ