TeX記述をやってみよー - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

はてなにわざわざ登録したのはTeXが使えるからと聞いてなので、他の設定をする前にまずこれを確かめてみねば！ちょっと前に自分用に作ったフーリエ変換関係のTeX記事があるのでそれを投下してみよう！

《1.内積とフーリエ変換》
《2.窓関数付きフーリエ変換とは》
《3.ウェーブレット変換とは》

複素関数 $f(t)$ と $g(t)$ の内積[tex:]は[tex:=\int_{-\infty}^{\infty}\bar{g(t)}f(t) \, dt]で定義される。 $\bar{g(t)}$ は複素共役の意味です。これを頭に入れ、フーリエ変換を思い出してみると、 $f(t)$ のフーリエ変換 $F(\omega)$ は $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{e^{i\omega t}}f(t) \, dt$ で表される。これは内積の形でいえば $\bar{e^{i\omega t}}$ が $\bar{g(t)}$ に相当する。フーリエ変換は指数関数と $f(t)$ の内積であると言えるでしょう。また、この $\bar{g(t)}$ の部分を核関数などと言う。

■《2.窓関数付きフーリエ変換とは》

窓関数という概念を導入しよう。 $F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{e^{i\omega t}}f(t) \, dt$ フーリエ変換では観測時間を無限で考えているが、現実の観測は有限時間で行っているためにそれに従い有限時間で計算をすればその部分以外は（周期関数であるので）繰り返しとして認識されます。
フーリエ級数で思い出してみれば、-πからπの範囲でフーリエ級数を作ればそれ以外の範囲はそれの平行移動、つまり周期関数になっていましたね。それは実際の観測ではありえない。ではどうすればいいのかというときに考えるのが窓関数です。自分が欲しい区間だけ値を持つような関数を考えるのです。例えば(0,1)のところが欲しいなら特殊関数 $\phi(t) = 1\mbox{ if }t \in ( 0,1 ) \quad , \quad 0 \mbox{ if }t \notin ( 0 ,1 )$ をかけてからフーリエ変換を行います。

$F(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{e^{i\omega t}}\phi(t)f(t) \, dt$
このように窓関数全体を $h(t,k)$ とおけば、窓関数付きフーリエ変換とは窓関数 $h(t)$ をかけてからフーリエ変換を行うことに値する。
$F(\omega ,k)=\int_{-\infty}^{\infty} \bar{e^{i\omega t}}h(t,k)f(t) \, dt$

■《3.ウェーブレット変換とは》

ところでここではじめて出てくるウェーブレット変換とはその内積と、窓付きフーリエ変換の考えを一般化したものです。基底関数 $\phi(t,k)$ なるものを定義したとき、 $f(t)$ のウェーブレット変換は $W(k ,j)=\sqrt{ \frac{1}{|j|}} \int_{-\infty}^{\infty} \bar{\phi \left( \frac{t-k}{j} \right)} f(t) \, dt$ と表せる。基底関数とはフーリエ変換で言う核関数のようなものである。ではなぜ核関数= $\phi(k,j)$ でなく核関数 $\bar{\phi \left( \frac{t-k}{j} \right)}$ なのであるかは全く理解できない、それはこれから必死に勉強していきたい。

さあ、どうなっているかな？？

2007/02/01　TeXを修正してみました。