果たしてこんな背理法ってありなのか・・・ - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

　ｓ空間が完備であることを証明するときに一つだけどうしてもうまく行かないところがあって、無理矢理な証明を付けてみた。これが背理法の使い方としてあっているのかどうか謎でしょうが無い。

$a_n \ge 0$ 、 $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{1+a_n}\rightarrow 0$ のときに $a_n \rightarrow 0$ でないと仮定する。
すると、 $a_n \rightarrow \exists \alpha , +\infty$ であり、 $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{1+a_n}$ の収束先は $\frac{\alpha}{\alpha +1}$ か $1$ となる。
しかしこれは $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{1+a_n}\rightarrow 0$ であることに反する。よって、
$a_n \rightarrow 0$ でないといけない。
つまり、命題
「 $\lim_{n \rightarrow \infty}\frac{a_n}{1+a_n}\rightarrow 0$ ならば $a_n \rightarrow 0$ である。」が成り立つ。

　というような感じで仕上げましたが微妙ですね。。。そもそもこれは背理法になっているのか？もしくは自明すぎて証明いらない？？それとも実はとんでもな事を言い出してる？？あーもー本当数学ってツンデレ。いまはツンツンだけどいつかフラグたててデレデレにしてやりたいと思いますよ。