とけたとけた！ - ＊すうがくはいくらやってもわからない＊

　いまさらだけど過去にかいてた微積の問題解けました（・∀・）ちょっと不安だけど結局は連続関数の積は連続関数ということと連続なら積分可能（リーマン的な意味で）ということと積分可能なら原始関数は連続ということを利用しただけですが漏れにはすごい難しい問題でしたorz
　しかもこれ大問1の（1）の2だよwwwwどんだけ基本問題なんだよwwww自分の実力に萎えながらも、今の自分がいる位置をちゃんと理解して頑張るしかないんですね。よっっしゃーー明日も勉強頑張ろう。ちなみに解法は続きに。誰も知りたくないだろうけどw
f(x)を連続関数としたときに、g(x)= $\frac{2}{x^2} \int_a^x tf(t) dt$ （ただしx=0のときg(0)=0とする）なるg(x)が連続であることを証明せよ。

1、連続関数の積はまた連続関数であることの証明。
　関数f(x),g(x)が連続であるとするなら|x-a|<δ⇒|f(x)-f(a)|<εと|g(x)-g(a)|＜εが成り立っている。ここで、f(x)g(x)-f(a)g(a)を考えれば
=(ｆ(ｘ)-ｆ(ａ)+ｆ(ａ))(ｇ(ｘ)-ｇ(ａ)+ｇ(ａ))-ｆ(ａ)ｇ(ａ)
=(ｆ(ｘ)-ｆ(ａ))(ｇ(ｘ)-ｇ(ａ))+(ｆ(ｘ)-ｆ(ａ))ｇ(ａ)+ｆ(ａ)(ｇ(ｘ)-ｇ(ａ))+ｆ(ａ)ｇ(ａ)-ｆ(ａ)ｇ(ａ)
=(ｆ(ｘ)-ｆ(ａ))(ｇ(ｘ)-ｇ(ａ))+(ｆ(ｘ)-ｆ(ａ))ｇ(ａ)+ｆ(ａ)(ｇ(ｘ)-ｇ(ａ))
これに絶対値をつけ、三角不等式を考えれば

f(x)g(x)-f(a)g(a)

≦|f(x)-f(a)||g(x)-g(a)|+|f(x)-f(a)||g(a)|+|f(a)||g(x)-g(a)|
それぞれ|f(x)-f(a)|<εと|g(x)-g(a)|＜εであるので
＜ε $^2$ +|g(a)|ε+|f(a)|ε=ε(ε+|f(a)|+|g(a)|)
であるのでf(x)g(x)も連続になる。

2、1より。
　f(x),x, $\frac{1}{x}$ が連続関数なので、xf(x)も連続関数でありその積分は存在して原始関数は微分可能なので連続である。また、その原始関数と $\frac{1}{x}$ の積であるg(x)も連続である。

うーんなんかしっくりこない証明だなあ。でも途中から書くのがめんどくなってきたんですよねw